Rabu, 19 November 2008

pembelajaran matematika

matematika pada saat ini memang dirasakan oleh beberapa siswa sangat sulit dan menjengkelkan, oleh karena itu qt khususnya ssebagai para pendidik harus menuntun mereka untuk mengenalkan bahwa matematika bukan lagi sebagai momok yang ditakuti tetapi harus dibuat menarik dan menyenangkan.
BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang
Pembelajaran bilangan bulat merupakan hal yang sangat penting dilakukan oleh guru dengan baik. Mengingat bilangan bulat sangat penting bagi kehidupan sehari-hari, maka siswa diharapkan menguasai konsep dan cara mengoperasikan bilangan bulat dengan baik. Hal ini akan mempengaruhi kemampuan matematika siswa pada materi yang lain serta mempengaruhi kebiasaan siswa dalam menghadapi masalah di dalam kesehariannya yang berkaitan dengan bilangan bulat.
Tidak hanya bilangan cacah yang sering berguna di dalam masalah sehari-hari, tetapi bilangan bulat dalam hal ini adalah bilangan negatif yang sering pula digunakan dalam pemecahan masalah. Seperti penggunaan termometer dan ketinggian di bawah permukaan laut. Pembelajaran bilangan bulat pada siswa seharusnya melibatkan peristiwa-peristiwa tersebut. Hal ini dapat berguna untuk memotivasi siswa dalam mempelajari bilangan bulat maupun sebagai pengetahuan siswa tentang masalah-masalah yang berkaitan dengan bilangan bulat.
Melihat hal-hal tersebut, sangat penting bagi calon guru untuk mengetahui bagaimana cara membelajarkan siswa tentang bilangan bulat dengan baik. Oleh karena itu dalam makalah yang berjudul “Pembelajaran Bilangan bulat” ini akan dibahas mengenai bilangan bulat beserta pembelajarannya.

1.2 Rumusan Masalah
a.Apa saja materi tentang bilangan bulat yang perlu dibelajarkan kepada siswa?
b.Bagaimana cara pembelajaran materi-materi tentang bilangan bulat?
1.3 Tujuan Penulisan
a.Untuk mengetahui materi tentang bilangan bulat yang perlu dibelajarkan kepada siswa.
b.Untuk mengetahui cara pembelajaran materi-materi tentang bilangan bulat.

BAB II
PEMBAHASAN

2.1Pengenalan Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli beserta negatifnya (lawannya) dan bilangan nol. Bilangan bulat dinotasikan dengan huruf B. Jika dituliskan dalam himpunan, B = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Bilangan asli dalam himpunan bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat positif sedangkan lawan dari bilangan asli biasa disebut sebagai bilangan bulat negatif.
Untuk membelajarkan siswa tentang bilangan bulat dapat dilakukan dengan cara mengingatkan kembali tentang bilangan cacah yang telah diperoleh siswa. Sebagai contoh guru dapat bertanya kepada siswa tentang berbagai contoh bilangan cacah, bilangan cacah yang terkecil atau sebutkan bilangan cacah yang pertama. Kemudian sebagai motivasi pengenalan bilangan bulat negatif guru dapat bertanya “apakah ada bilangan yang lebih kecil dari 0?” atau “ berapakah hasil dari 4-6?” Tentu saja kebanyakan siswa akan merasa kebingungan untuk menjawab pertanyaan tersebut. Dalam situasi inilah guru dapat memberitahukan kepada siswa bahwa ada bilangan bulat yang dapat menjawb pertanyaan tersebut.
Untuk mengenalkan bilangan bulat negatif kepada siswa guru dapat mengkaitkannya dengan masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari yang mencakup bilangan bulat. Misalnya:
1.Sebuah kapal berada pada kedalaman 50 meter dibawah permukaan laut yang dapat dinyatakan sebagai sebuah kapal berada pada kedalaman -50 m (dibaca begatif lima puluh meter). Dalam menjelaskan masalah ini seharusnya disertai dengan gambar agar siswa dapat melihat dengan nyata apa yang dimaksud dengan -50 m.






2.Suhu es tertentu adalah adalah -3oC (dibaca negatif 3 derajat celcius). Dalam hal ini seharusnya guru membawa alat peraganya agar siswa dapat melihat secara nyata termometer yang menunjukkan bilangan negatif dan merasakan bahwa termometer yang menunjukkan bilangan negatif menyatakan situasi yang dingin. Jika peralatan tidak terjangkau guru dapat menceritakan saja bahwa jika termometer berada dalam suhu yang dingin maka termometer tersebutk kemungkinan akan menunjuk pada bilangan negatif.
Masih banyak lagi masalah yang berkaitan dengan bilanga bulat. Setelah siswa mengenal bilangan positif, nol dan bilangan negatif, guru dapat memberitahukan kepada siswa bahwa bilangan positif, nol dan bilangan negatif disebut bilangan bulat.

2.2Mengurutkan Bilangan Bulat
Agar siswa dapat mengurutkan bilangan cacah secara tepat, guru dapat menggunakan termometer sebagai alat peraga. Apabila memungkinkan setiap siswa dapat diberi termometer atau setiap kelompok siswa diberi termometer agar siswa dapat mengamati sendiri bilangan-bilangan yang ada dalam termometer tersebut. Jika tidak memungkinkan siswa dapat diberi tiruan termometer. Dapat juga menggunakan suatu gambar termometer yang besar yang dapat dilihat semua siswa jika gambar termometer tersenut diletakkan di depan kelas.Guru dapat bertanya terlebih dahulu tentang urutan bilangan pada bilangan positif yang ada dalam termometer tersebut. Misalnya: “ manakah bilangan yang lebih besar dalam termometer tersebut, 30 atau 25?”, “ bagaimana lambangnya?” (siswa diharapkan menjawab 3 > 25)“bagaimana kedudukan bilanga 30 dan 25 pada termometer tersebut?” (pada pertanyaan in siswa diharapkan menjewab bilangan 30 di atas bilangan 25). Kemudian diteruskan dengan beberapa bilangan positif yang lain beserta kedudukannya dalam termometer. Bila sekiranya siswa sudah memahami bahwa bilangan yang lebih besar berata di atas bilangan yang lebih kecil guru dapat melanjutkan pertanyaan tentang perbandingan bilangan psitif dengan negati, dan negatif dengan negatif. Setelah menggunakan termometer guru dapat menyuruh siswa menggambar garis bilangan bulat sesuai pengetauan yang telah mereka dapat dengan menggunakan termometer. Setelah siswa memahami urutan bilangan bulat, seharusnya siswa dilatih untuk dapat mengurutkan bilangan bulat dengan cara memberikan beberapa soal sesuai dengan kemampuan siswa.

2.3 Operasi pada Bilangan Bulat
Pada bagian ini akan dibahas operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada bilangan bulat. Konsep operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dapat dibelajarkan pada siswa dengan menggunakan garis bilangan, bantuan koin, ataupun dengan alat peraga.

2.3.1 Cara Membelajarkan Siswa tentang Penjumlahan Bilangan Bulat
2.3.1.1 Pembelajaran dengan Garis Bilangan
Langkah – langkah menggambar representasi penjumlahan bilangan bulat pada garis bilangan:
1.Posisi awal selalu mulai dari bilangan nol. Dari posisi awal, menghadap ke kanan, jika bilangan yang ditambahkan positif dan menghadap ke kiri, jika bilangan yang ditambahkan negatif. Kemudian melangkahlah sebanyak bilangan yang akan ditambahkan.
2.Setelah sampai pada posisi kedua. Tentukan arah yang dihadap untuk melangkah berdasarkan bilangan kedua, yaitu bilangan penambah. Posisi menghadap ke kanan jika bilangan penambah adalah bilangan positif dan sebaliknya.
3.Tentukan melangkah maju atau mundur berdasarkan tanda operasi. Melangkah maju, jika tanda operasinya + (tambah) dan sebaliknya.
4.Tentukan banyak langkah maju atau mundur berdasarkan bilangan kedua atau bilangan penambah atau pengurang.
Contoh:
a.Penjumlahan bilangan bulat positif dengan negatif
Contoh 1: -2 + 3
Dengan garis bilangan:

Keterangan:
Kotak merah adalah posisi pertama setelah melangkah dari angka nol sebanyak 2 langkah menghadap ke kiri.
Arah yang dihadap untuk melangkah berikutnya adalah ke arah kanan karena bilangan penambah adalah 3
Dari posisi pertama maju 3 langkah karena operasinya + (tambah) dan bilangan penambah adalah 3.
Kotak hijau menyatakan hasil akhir, yaitu 1.

2.3.1.2Pembelajaran dengan Model Koin
Sebelum melakukan penjumlahan bilangan bulat dengan model koin, perhatikan ketentuan berikut.
menunjukkan koin positif bernilai 1
menunjukkan koin negatif bernilai -1


Pasangan disebut pasangan nol, karena 1 + (-1) = 0
Cara penggunaan model koin untuk pembelajaran bilangan bulat:
1.Tempatkan koin dengan tanda yang sesuai dengan ketentuan di atas sebanyak bilangan yang akan ditambahkan.
2.Jika operasi yang dilakukan adalah penjumlahan, maka kita menambahkan koin sebanyak bilangan penambah.
Contoh
a.Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Positif
Contoh: 3 + 4
Dengan model koin:
Tempatkan 3 koin positif dan 4 koin positif

Terdapat 7 koin positif.
Jadi, 3 + 4 = 7

b. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan negatif
Contoh: -3 + (-3)
Tempatkan 3 koin negatif dan 3 koin negatif.

Terdapat 6 koin negatif.
Jadi, -3 + (-3) = -6


c.Penjumlahan bilangan bulat positif dengan negatif
Contoh: 3 + (-2)
Tempatkan 3 koin positif dengan 2 koin negatif




2.3.1.3. Pembelajaran dengan alat peraga yaitu tutup botol
Cara penggunaan tutup botol untuk pembelajaran bilangan bulat:
1.Misal: warna merah mewakili bilangan bulat positif dan warna hijau mewakili bilangan bulat negatif.
2.Ambil tutup botol dengan warna yang sesuai dengan perjanjian di atas sebanyak bilangan yang akan ditambahkan.
3.Jika operasi yang dilakukan adalah penjumlahan, maka kita menambahkan tutup botol sebanyak bilangan penambah.
Contoh
a.Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Positif
Contoh: 2 + 2



b.
c.Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dengan Negatif
Contoh: (-3) + (-3)

d.Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Negatif
Contoh: 2 + (-4)
Dengan tutup botol:


2.3.2 Cara Membelajarkan Siswa tentang Pengurangan Bilangan Bulat
2.3.2.1. Pembelajaran dengan Garis Bilangan
Langkah – langkah menggambar representasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat pada garis bilangan:
1.Posisi awal selalu mulai dari bilangan nol. Dari posisi awal, menghadap ke kanan, jika bilangan yang ditambahkan positif dan menghadap ke kiri, jika bilangan yang ditambahkan negatif. Kemudian melangkahlah sebanyak bilangan yang akan dikurangkan.
2.Setelah sampai pada posisi kedua. Tentukan arah yang dihadap untuk melangkah berdasarkan bilangan kedua, yaitu bilangan pengurang. Posisi menghadap ke kanan jika bilangan pengurang adalah bilangan positif dan sebaliknya.
3.Tentukan melangkah maju atau mundur berdasarkan tanda operasi. Melangkah maju, jika tanda operasinya + (tambah) dan sebaliknya.
4.Tentukan banyak langkah maju atau mundur berdasarkan bilangan kedua atau bilangan penambah atau pengurang.

Contoh
a. Pengurangan bilangan bulat positif dengan negatif
Contoh 1: 3 – (-5)

Keterangan:
Kotak merah adalah posisi pertama setelah melangkah dari angka nol sebanyak 3 langkah menghadap ke kanan.
Arah yang dihadap untuk melangkah berikutnya adalah ke arah kiri karena bilangan pengurang adalah -5.
Dari posisi pertama mundur 5 langkah karena operasinya – (kurang) dan bilangan pengurang adalah -5.
Kotak hijau menyatakan hasil akhir, yaitu 8.

b. Pengurangan bilangan bulat negatif dan negatif
Contoh: -4 – (-3)

Keterangan:
Kotak merah adalah posisi pertama setelah melangkah dari angka nol sebanyak 4 langkah menghadap ke kiri.
Arah yang dihadap untuk melangkah berikutnya adalah ke arah kiri karena bilangan pengurang adalah -3.
Dari posisi pertama mundur 3 langkah karena operasinya – (kurang) dan bilangan pengurang adalah -3.
Kotak hijau menyatakan hasil akhir, yaitu -1.
2.3.2.2. Pembelajaran dengan Model Koin
Sebelum melakukan penjumlahan atau pengurangan bilangan bulat dengan model koin, perhatikan ketentuan berikut.


menunjukkan koin positif bernilai 1
menunjukkan koin negatif bernilai -1

Pasangan disebut pasangan nol, karena 1 + (-1) = 0
Cara penggunaan model koin untuk pembelajaran bilangan bulat:
1.Tempatkan koin dengan tanda yang sesuai dengan ketentuan di atas sebanyak bilangan yang akan dikurangkan.
2.Jika operasi yang dilakukan adalah pengurangan, maka kita mengambil koin sebanyak bilangan pengurang.
4.Jika dalam kasus pengambilan koin (dalam operasi pengurangan), banyaknya koin yang tersedia tidak cukup, maka yang dilakukan adalah menambah koin dengan tanda yang akan diambil. Akibat penambahan ini, maka kita perlu menambahkan koin dengan tanda yang lain sebanyak yang kita tambahkan pertama. Kemudian baru kita ambil lagi sebanyak yang seharusnya diambil.
a. Pengurangan bilangan bulat positif dengan negatif
Contoh 2: 6 – (-2)

Tempatkan 6 koin positif. Karena koin negatif tidak
ada, maka tidak bisa mengambil 2 koin negatif
sehingga harus menambahkan 2 pasangan nol.


Tambahkan 2 pasangan nol.






Ambil 2 koin negatif. Sehingga diperoleh sisa
koin adalah 8 koin positif.
Jadi 6 – (-2) = 8

2.3.2.3. Pembelajaran dengan alat peraga yaitu tutup botol
Cara penggunaan tutup botol untuk pembelajaran bilangan bulat:
1.Misal: warna merah mewakili bilangan bulat positif dan warna hijau mewakili bilangan bulat negatif.
2.Ambil tutup botol dengan warna yang sesuai dengan perjanjian di atas sebanyak bilangan yang akan dikurangkan.
3.Jika operasi yang dilakukan adalah pengurangan, maka kita mengambil tutup botol sebanyak bilangan pengurang.
4.Jika dalam kasus pengambilan tutup botol (dalam operasi pengurangan), banyaknya tutup botol yang tersedia tidak cukup, maka yang kita lakukan adalah menambah tutup botol dengan warna yang akan diambil. Akibat penambahan ini, maka kita perlu menambahkan tutup botol dengan warna lainnya sebanyak yang kita tambahkan pertama. Kemudian baru kita ambil lagi sebanyak yang seharusnya diambil.
a. Pengurangan bilangan positif dengan positif
Contoh: 3 – 5
Dengan alat peraga tutup botol:


b. Pengurangan bilangan positif dengan negatif
Contoh: 5 – (-3) =
Dengan alat peraga tutup botol




Pada tahap penanaman konsep siswa diberi contoh–contoh dengan bilangan yang kecil dan penyelesaiannya dapat dibantu dengan garis bilangan, model koin atau pun alat peraga. Selanjutnya siswa dibimbing untuk menemukan teknik-teknik untuk menyelesaikan soal penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yang melibatkan bilangan yang lebih besar. Teknik-tekniknya yaitu:
Jika a, b sebarang bilangan bulat positif maka:
a + (-b) = - (b – a), jika a < b
a + (-b) = a – b, jika a > b
a – b = - (b – a), jika a < b
a – (-b) = a + b
-a – b = - (a + b)

2.3.3Cara Membelajarkan Siswa tentang Perkalian Bilangan Bulat
2.3.3.1Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif.
Untuk siswa kelas IV pembelajaran dapat dilakuakn dengan cara mengingatkan kembali tentang materi perkalian yang telah mereka dapat pada kelas 3. Setelah siswa ingat tentang cara mengalikan suatu bilangan dengan bilangan yang lain siswa dilatih mengerjakan soal-soal perkalian. Soal-soal tersebut tidak hanya menghasilkan bilangan 3 angka tetapi dapat dilanjutkan denga perkalian yang menghasilkan lebih dari tiga angka jika siswa telah mampu melakukan perkalian yang menghasilkan tiga angka.
Untuk siswa kelas V pembelajaran dapat dilakukan dengan cara mengingakkan kembali konsep perkalian yang telah didapat siswa pada kelas 3 untuk mengarahkan siswa pada pembelajarab perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Sebagai contoh: 3 x 2 daat diartikan sebagai 2 + 2 + 2 = 6 atau dapat di gambarkan dengan garis bilangan sebagai berikut.



2.3.3.2Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif.
Untuk membelajarakan siswa tentang perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif dapat dilakukan dengan cara bertanya kepada siswa apa pengertian dari 3 x 2 sampai guru mendapatkan jawaban 2 x 3 = 2 + 2 + 2 = 6. Kemudian guru bertanya ” bgaimana dengan 3 x (-2) ?”. Diharapkan siswa dapat menjawab 3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = (-6).Kemudian guru dapat melatih siswa dengan memberikan berbagai soal yang serupa. Seharusnya guru juga memebelajarkan siswa dengan menggunakan alat perga berupa garis bilangan. Sebagai contoh:

x




jadi, 3 x (-2) = -6.
Untuk membelajarkan siswa tentang materi ini juga dapat dilakukan dengan tabel sebagai berikut.
Perkalian
Hasil
3 x 3
9
3 x 2
6
3 x 1
3
3 x 0
...
3 x (-1)
...
3 x (-2)
...
Dari tabel tersebut diharapkan siswa dapat melihat pola bahwa setiap kotak hasilnya mempunyai selisih 3, sehingga mereka mendapatkan hasil bahwa 3 x (-2) = -6. Untuk selanjutnya siswa diberikan bebrapa tabel lagi sehingga mereka dapat menyimpulkan bahwa a x (-b) = -(a x b)
2.3.3.3Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif.
Untuk membelajarakan siswa tentang perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif dapat dilakukan dengan cara menggunakan alat perga berupa garis bilangan. Sebagai contoh:
x




jadi, (-3) x 2 = -6 = -6.
Untuk membelajarkan siswa tentang materi ini juga dapat dilakukan dengan tabel sebagai berikut.
Perkalian
Hasil
3 x 2
6
2 x 2
4
1 x 2
2
0 x 2
...
(-1) x 2
...
(-2) x 2
...
(-3) x 2
...
Dari tabel tersebut diharapkan siswa dapat melihat pola bahwa setiap kotak hasilnya mempunyai selisih 2, sehingga mereka mendapatkan hasil bahwa (-3) x 2 = -6. Untuk selanjutnya siswa diberikan bebrapa tabel lagi sehingga mereka dapat menyimpulkan bahwa (-a) x b = -(a x b)
2.3.3.4Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif.
Untuk membelajarakan siswa tentang perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif dapat dilakukan dengan cara menggunakan alat perga berupa garis bilangan. Sebagai contoh:

x




jadi, (-3) x (-2) = 6
Untuk membelajarkan siswa tentang materi ini juga dapat dilakukan dengan tabel sebagai berikut.
Perkalian
Hasil
(-3) x 3
-9
(-3) x 2
-6
(-3) x 1
-3
(-3) x 0
...
(-3) x (-1)
...
(-3) x (-2)
...

Dari tabel tersebut diharapkan siswa dapat melihat pola bahwa setiap kotak hasilnya mempunyai selisih 3, sehingga mereka mendapatkan hasil bahwa (-3) x (-2) = 6. Untuk selanjutnya siswa diberikan bebrapa tabel lagi sehingga mereka dapat menyimpulkan bahwa (-a) x (-b) = a x b
2.3.4 Cara Membelajarkan Siswa tentang sifat-sifat operasi bilangan bulat
2.3.4.1 Komutatif pada Penjumlahan
a) Induktif
Siswa diberikan beberapa pasangan soal yang mengarahkan mereka dalam menemukan konsep komutatif. Contoh-contoh untuk menunjukkan sifat komutatif terdapat pada tabel berikut.





Setelah siswa menemukan pola komutatif, maka siswa dapat diberi soal-soal yang penyelesaiannya memerlukan pengetahuan tentang ini.
Misalnya (-8) + 18 = + (-8)
16 + = (-27) + 16
Secara umum, jika urutan membelajarkan Matematika yang mendasar ini tidak dimulai dengan masalah-masalah untuk menemukan seperti tabel di atas, maka siswa akan mengalami kesulitan pada proses berikutnya. Jika siswa gagal untuk menemukan sifat komutatif (pertukaran), maka guru perlu menyusun situasi yang sesuai untuk meningkatkan penemuan.
Menurut Sutawidjaja (1992), soal-soal yang dibuat guru dapat disusun sedemikian rupa sehingga membawa siswa ke generalisasi (penarikan kesimpulan umum). Dalam tingkatan ini, guru dapat menyajikan soal-soal dengan penyelesaian yang bervariasi. Siswa didorong dan diharapkan untuk mengemukakan pendapat: ”Pak Guru, ternyata aturan ini berlaku untuk sebarang bilangan.” Pendapat ini yang dimaksud dan dikehendaki sebagai generalisasi. Meskipun generalisasi dari sifat komutatif ini tanpa bukti, siswa diharapkan dapat menerima sesuai dengan pengalaman yang diperoleh melalui contoh-contoh yang dikerjakan.
Pada tingkatan yang terakhir, siswa dapat diberi suatu pola:


Siswa dapat melengkapi kalimat itu dengan mengganti dan sehingga menjadi kalimat yang benar. Kegiatan semacam ini diperbolehkan untuk ditunda sampai siswa mempunyai pengetahuan yang dipandang cukup.
b) Induktif dengan tabel penjumlahan
Tabel penjumlahan juga dapat digunakan guru untuk membimbing siswa dalam menemukan sifat komutatif. Sebelum mengenal sifat komutatif, siswa terlebih dahulu diberikan tabel penjumlahan sebagai berikut.

Berdasarkan tabel di atas, siswa menyelidiki:
Apakah (-1)+(-3) hasilnya sama dengan (-3)+(-1)?
Apakah (-2)+(-4) hasilnya sama dengan (-4)+(-2)?
Siswa dapat mengenal fakta bahwa:
a. (-1)+(-3) = -4
(-3)+(-1)=- 4
b. (-2)+(-4) = -6
(-4)+(-2)= -6
Sehingga siswa dapat menemukan bahwa hasil penjumlahan 2 bilangan tetap sama dengan suku yang ditukar (dibalik). Hal inilah yang disebut dengan sifat komutatif.
c). Analogi dan penggunaan alat peraga
Guru dapat memberikan permasalahan seperti berikut kepada siswa.
Bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Perhatikan gambar di samping.
Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan
jumlah kelereng Budi.
Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat
komutatif.




2.3.4.2 Sifat Komutatif pada Perkalian
a). Induktif
Siswa diberikan latihan soal-soal sebagai berikut.


Siswa kemudian dapat dibimbing untuk membuat generalisasi. Guru dapat mengajukan pertanyaan berikut.
Isilah kotak dan segitiga dengan bilangan sehingga menghasilkan kalimat yang benar.

b) Induktif dengan tabel perkalian
Tabel perkalian juga dapat digunakan guru untuk membimbing siswa dalam menemukan sifat komutatif. Sebelum mengenal sifat komutatif, siswa terlebih dahulu diberikan tabel perkalian sebagai berikut.

Berdasarkan tabel di atas, siswa menyelidiki:
a. Apakah (-4) × 2 hasilnya sama dengan 2 × (-4)?
b. Apakah (-5) × 7 hasilnya sama dengan 7 × (-5)?
c. Apakah (-1) × 9 hasilnya sama dengan 9 × (-1)?
Siswa dapat mengenal fakta bahwa:
a. (- 4) × 2 = -8
2 × (-4) = -8 Jadi, (-4) × 2 = 2 × (-4)
b. (-5) × 7 =- 35
7 × (-5) = -35 Jadi, (-5) × 7 = 7 × (-5)
c. (-1) × 9 = -9
9 × (-1) = -9 Jadi, (-1) × 9 = 9 × (-1)
Seperti pada penjumlahan, perkalian dengan suku yang dibalik tidak mengubah hasilnya. Sifat ini disebut sifat pertukaran atau sifat komutatif.
Guru membimbing siswa untuk membuat generalisasi tentang sifat komutatif, baik pada penjumlahan maupun pada perkalian.

Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, berlaku sifat pertukaran atau sifat komutatif, yaitu:

a, b adalah sebarang bilangan bulat

c.Analogi dan penggunaan alat peraga
Bilangan bulat positif dengan positif
Guru dapat memberikan analogi seperti berikut kepada siswa.
Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir.
Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik.
Setiap kantong berisi 2 butir.
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik.
Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut.
Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4 = 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat
komutatif pada perkalian.
2.3.4.3 Sifat Identitas Penjumlahan

Untuk mengenalkan siswa kepada sifat identitas penjumlahan, maka beberapa alternatif cara yang dapat dilakukan adalah:
1) Dengan fakta yang mudah diingat siswa
Berikut merupakan ilustrasi suatu cara untuk mengenalkan sifat identitas pada bilangan bulat khususnya bilangan bulat positif dengan menggunakan jari-jari tangan. Fakta ini mudah diingat oleh siswa karena mereka dapat menggunakan jari-jari tangan mereka sendiri.
2) Analogi
Contoh permasalahan yang dapat disajikan guru kepada siswa untuk menjelaskan sifat identitas pada bilangan bulat positif adalah sebagai berikut.
”Dani mempunyai dua kotak. Kotak pertama berisi 5 kelereng dan kotak yang kedua kosong. Kemudian Dani memindahkan semua isi kotak pertama dan kotak kedua ke dalam kotak ketiga. Berapakah banyaknya kelereng di dalam kotak ketiga?”
3) Induktif
Siswa diberikan latihan-latihan soal seperti berikut.



Setelah siswa dapat menjawab soal tersebut, maka guru dapat membimbing siswa untuk menggeneralisasikan konsep identitas penjumlahan.

2.3.4.4 Sifat Asosiatif (Pengelompokan)pada Penjumlahan
a). Analogi dan Penggunaan Alat Peraga
Bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Guru memberikan permasalahan yang membimbing mereka menuju sifat asosiatif. Salah satu contoh permasalahannya adalah sebagai berikut.
Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah.
Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih.
Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?




Perhatikan gambar di atas.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi
Sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat
asosiatif pada penjumlahan.
Secara umum, sifat asosiatif pada
penjumlahan dapat ditulis:

dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat
b). Induktif
Siswa diberikan beberapa pasangan soal yang mengarahkan mereka dalam menemukan konsep asosiatif.



Setelah siswa menemukan pola keasosiatifan, maka siswa dapat diberi soal-soal yang untuk menyelesaikannya memerlukan pengetahuan tentang pola tersebut. Beberapa contoh soal untuk tahap ini adalah sebagai berikut.


2.3.4.5 Sifat Asosiatif pada Perkalian
a). Induktif
Guru menyajikan beberapa pasang soal yang dapat mengarahkan siswa dalam menemukan sifat asosiatif untuk perkalian.




Dalam tahap kedua setelah siswa menemukan sifat asosiatif perkalian, maka guru dapat memberikan soal yang memerlukan satu jawaban.
Pada tahap akhir, guru membimbing siswa untuk membuat generalisasi

dengan a, b, c bilangan bulat
c). Analogi dan Penggunaan Alat Peraga
Contoh permasalahan yang dapat diberikan guru kepada siswa adalah sebagai berikut.
Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Jumlah kelereng = Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4
= 24
Jadi jumlah kelereng Andi adalah 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap
kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak
kotak.
Jumlah kelereng = Banyak kotak × banyak kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4)
= 24
Jadi jumlah kelereng Andi adalah 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4.
Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama.
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif
pada perkalian.
Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat
pengelompokan atau sifat asosiatif, yaitu:


a, b, c sebarang bilangan bulat
2.3.4.6 Sifat Distributif
1)Model Susunan
Model susun hanya dapat digunakan untuk bilangan bulat positif. Gambar berikut menunjukkan dua persamaan yang dapat digunakan untuk pola distributif perkalian terhadap penjumlahan.




Guru dapat menggunakan alat peraga manik-manik atau kelereng dalam menjelaskan sifat ini.
2). Induktif
Guru membimbing siswa untuk menemukan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dengan menggunakan beberapa contoh soal, misalnya:



Dalam tahap kedua, siswa diharapkan untuk mengidentifikasi faktor yang belum diketahui atau penambah yang belum diketahui berdasarkan pola sifat distributif yang telah dipelajari sebelumnya.


Pada tahap akhir, guru membimbing siswa untuk membuat generalisasi.

3). Analogi
Guru dapat memberikan permasalahan sebagai berikut kepada siswa.
Ema dan Menik pergi ke pasar
buah membeli jeruk. Mereka masing-masing
membeli 4 kilogram dan 5 kilogram jeruk.
Setiap kilogram terdiri atas 8 buah jeruk.
Berapa banyaknya buah jeruk yang mereka
beli?
Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Berikut beberapa cara yang dapat digunakan untuk mengarahkan siswa kepada sifat distributif.








Hasil dari cara 1 dan cara 2 adalah sama. Dari hasil ini dapat dituliskan: 8 × (4 + 5) = (8 × 5) + (8 × 4)
Sifat ini disebut sifat pengelompokan atau sifat distributif.
Siswa dapat menemukan jawaban-jawaban yang sama pada kedua
kolom. Sehingga dapat dituliskan sifat penyebaran atau sifat
distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap
pengurangan sebagai berikut.


dengan a, b, c sebarang bilangan bulat
2.4Menghitung Perpangkatan
Untuk membelajarkan siswa tentang perpangkatan guru dapat mengaitkannya dengan konsep luas. Misalnya dengan menggunakan cerita tentang:
“ Bu Ratih mempunyi taplak meja makan berbentuk persegi, dengan panjang sisi 3 meter. Berapa luas taplak Bu Ratih? Nyatakan luas taplak Bu Ratih dalam bentuk perkalian dua bilangan yang sama!”
Diharapkan siswa menjawab 3 x 3 = 9. Kemudian guru membuat cerita yang lain yang memuat perkalian bilangan yang sama. Setelah siswa mendapatkan banyak perkalian yang memuat bilangan yang sama guru dapat mengajak siswa untuk mengenalkan bilangan berpangkat dua. Misalnya 3 x3 = 32 (dibaca tiga pangkat dua atau tiga kuadrat) dan 75 x 75 = 752 (dibaca tju pulh lima pangkat dua atau tuju puluh lima kuadrat). Setelah siswa menguasai bilangan pangkat dua, maka guru dapat memberikan soal-soal latihan kepada siswa.
2.5Menghitung Akar Pangkat Dua
Untuk membelajarkan siswa tentang akar pangkat dua guru dapat mengaitkannya dengan konsep luas. Misalnya dengan menggunakan cerita tentang:
“ Bu Ratih mempunyi taplak meja makan berbentuk persegi, dengan luas 9 m2. Berapa luas taplak Bu Ratih? Nyatakan luas taplak Bu Ratih dalam bentuk perkalian dua bilangan yang sama!”
Diharapkan siswa menjawab 9 = 3 x 3 sehingga panjang taplak Bu Rati adalah 3 meter. Kemudian guru membuat beberapa cerita yang lain yang memuat perkalian bilangan yang sama. Setelah siswa mendapatkan banyak perkalian yang memuat bilangan yang sama guru dapat mengajak siswa untuk mengenalkan akar pangkat dua. Misalnya 16 = 4 x 4 dapat dinyatakan dengan (dibaca akar pangkat dua dari tiga sama dengan 3t) Setelah siswa memahami arti dari akar pangkat dua, maka guru dapat memberikan soal-soal latihan kepada siswa agar siswa. Contoh soal yang diberikan adalah sebagai berikut.
1.25 =5 x 5 maka
2.36 = ... x ... maka
3.= ...
4.
Dst
2.6 Menentukan Akar Pangkat Tiga dari Suatu Bilangan Kubik
Untuk membelajarkan siswa tentang bilangan kubik, guru dapat mengaitkannya denga konsep volume kubus. Sebagai contoh:
“Berapakah volume kubus yang mempunyai rusuk 2? Nyatakan volume tersebut dalam perkalian bilangan yang sama!”
Diharapkan siswa dapat menjawab: Volume kubus = 2 x 2 x 2 = 8. Dalam hal ini guru dapat memberitahkan kepada siswa bawa pernyataan 2 x 2 x 2 dapat dinyatakan sebagai 23, sehingga 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Jika siswa dirasa sudah menguasai tentang bilangan berpangkat siswa maka siswa dapa dilatih dengan beberapa soal tentang bilangan berpangkat tiga beserta soal-soal yang berkaitan dengan volume kubus.
Setelah siswa menguasai bilangan berpangkat tiga guru dapat mengajk siswa ntuk mengenal akar pangkat 3. Siswa dapat diingatkan lagi pada materi akar pangkat dua yang telah di dapat siswa dengan harapan siswa dapat menganalogi akar pangkat tiga berdasarkan akar pangkat dua. Guru dapat melakukan dialog dengan siswa seperti berikut.
“ Ingatkah kalian tentang . Berapakah hasilnya? (diharapkan siswa dapt menjawab 3). “ Dari mana kalian mendapatkan jawaban tersebut?” (Diharapkan siswa dapat menjawab 3 x 3 = 9). “Lalu bagaiman menurut kalian tentang ?”. Dalam hal ini kemngkinan besar siswa kesulitan dalam menjawab pertanyaan tersebut. Guru dapat mengarakan lagi ke dalam betuk perkalian pangkat tiga, yaitu 23 =2 x 2 = 8 sehingga =2. Soal-soal yang serupa dapat diberikan kepada siswa untuk melatih kebiasaan siswa berhitung akar pangkat tiga. Soal-soal yang diberikan dapat di padukan dengan soal cerita yang berkaitan dengan volume kubus.